已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 18:58:26
的离心率，求a/b的取值范围

因为有一个根是抛物线的离心率，所以有一根为1，带入式子可得到1+a+b+c=0所以c=-1-a-b，带入式子，分解因式可得，x^3+ax^2+bx-1-a-b=0,分解因式得到(x-1)(x^2+(1+a+b)x+1+a-b)=0,所以其余两根满足x^2+(1+a+b)x+1+a-b=0由于一根大于1，一根小于1，x^2的系数大于0，所以当x=1时，式子x^2+(1+a+b)x+1+a-b小于0，可得到a<-3/2,由于一根大于0小于1，所以当x=0时式子x^2+(1+a+b)x+1+a-b大于0，可得到a>b-1（1）,所以可得到b<-1/2;对于（1）两边同时除以b可得到a/b<1-1/b，所以a/b的范围是小于3大于0

离心率和曲线形状对照关系综合如下：
e=0, 圆
0<e<1, 椭圆
e=1, 抛物线
e>1, 双曲线

设三个实根分别为：x1(椭圆),x2(双曲线),x3(抛物线)
则：0<x1<1 , x2>1 ,x3=1
将x3带入：a+b+c = -1 =>c=-(a+b+1)
f(x)=(x-1)(x^2+(a+1)x+a+b+1)
f'(x)=3x^2+2ax+b =0有两根且一根大于1，一根小于1
f'(1)=3+2a+b<0

设：g(x)=x^2+(a+1)x+a+b+1
则：g(1)<0 => 3+2a+b<0
g(0)>0 => a+b+1>0
-(a+1)/2 >0 => a+1<0 => b>0

=>a+2b>0
两边除以b（b>0） => a/b>-2

3+2a+b<0 => a/b < -3/2b -1/2 < -1/2 (b>0)

=> -2 < a/b < -1/2

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